堆

堆(heap)是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如图所示：

• 小顶堆(min heap)：任意节点的值≤其子节点的值。
• 大顶堆(max heap)：任意节点的值≥其子节点的值。

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性:

• 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
• 我们将二叉树的根节点称为"堆顶"，将底层最靠右的节点称为"堆底"。
• 对于大顶堆(小顶堆)，堆顶元素(根节点)的值是最大(最小)的。

1. 堆的常用操作

需要指出的是，许多编程语言提供的是优先队列(priority queue)，这是一种抽象的数据结构，定义为具有优先级排序的队列。实际上，堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们可以将"优先队列"和"堆"看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一称作"堆"。
堆的常用操作见下表：

方法名	描述	时间复杂度
push()	元素入堆	O(log⁡n)
pop()	堆顶元素出堆	O(log⁡n)
peek()	访问堆顶元素(对于大 / 小顶堆分别为最大 / 小值)	O(1)
size()	获取堆的元素数量	O(1)
isEmpty()	判断堆是否为空	O(1)

在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类(或优先队列类)。类似于排序算法中的"从小到大排列"和"从大到小排列"，我们可以通过设置一个flag或修改 Comparator实现"小顶堆"与"大顶堆"之间的转换。代码如下所示：

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆(使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可)
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);

/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.poll(); // 5
peek = maxHeap.poll(); // 4
peek = maxHeap.poll(); // 3
peek = maxHeap.poll(); // 2
peek = maxHeap.poll(); // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));

2. 堆的实现

下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断进行逆转。

2.1 堆的存储与表示

完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，因此我们将采用数组来存储堆。当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。
如图所示，给定索引i，其左子节点的索引为2i+1，右子节点的索引为2i+2，父节点的索引为(i-1)/2(向下整除)。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用：

/* 获取左子节点的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

2.2 访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素：

/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
    return maxHeap.get(0);
}

2.3 元素入堆

给定元素val，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于val可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为堆化(heapify)。
考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。如图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。
设节点总数为n，则树的高度为O(logn)。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为O(logn)，元素入堆操作的时间复杂度为O(logn)。代码如下所示：

/* 元素入堆 */
void push(int val) {
    // 添加节点
    maxHeap.add(val);
    // 从底至顶堆化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = parent(i);
        // 当"越过根节点"或"节点无须修复"时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
            break;
        // 交换两节点
        swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

2.4 堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤:

1. 交换堆顶元素与堆底元素(交换根节点与最右叶节点)。
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除(注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素)。
3. 从根节点开始，从顶至底执行堆化。

如图所示，"从顶至底堆化"的操作方向与"从底至顶堆化"相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为O(logn),代码如下所示：

/* 元素出堆 */
int pop() {
    // 判空处理
    if (isEmpty())
        throw new IndexOutOfBoundsException();
    // 交换根节点与最右叶节点(交换首元素与尾元素)
    swap(0, size() - 1);
    // 删除节点
    int val = maxHeap.remove(size() - 1);
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        // 交换两节点
        swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

2.5 堆的常见应用

1. 优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为O(logn)，而建堆操作为O(n)，这些操作都非常高效。
2. 堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见"堆排序"章节。
3. 获取最大的k个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前10的新闻作为微博热搜，选取销量前10的商品等。

3. 建堆操作

在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为"建堆操作"。

3.1 借助入堆操作实现

我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行"入堆操作"，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行"从底至顶"堆化。每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是"自上而下"构建的。设元素数量为n，每个元素的入堆操作使用O(logn)时间，因此该建堆方法的时间复杂度为O(nlogn)。

3.2 通过遍历堆化实现

实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步:

1. 将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
2. 倒序遍历堆(层序遍历的倒序)，依次对每个非叶节点执行"从顶至底堆化"。

每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历，因此堆是"自下而上"构建的。之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。值得说明的是，由于叶节点没有子节点，因此它们天然就是合法的子堆，无须堆化。如以下代码所示:

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<Integer> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new ArrayList<>(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。

3.3 复杂度分析

推算第二种建堆方法的时间复杂度：
假设完全二叉树的节点数量为n，则叶节点数量为(n+1)/2，其中/为向下整除。因此需要堆化的节点数量为(n-1)/2。
在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度logn。
将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为O(nlogn)。但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质。
接下来我们来进行更为准确的计算。为了降低计算难度，假设给定一个节点数量为n、高度为h的"完美二叉树"，该假设不会影响计算结果的正确性。
如图所示，节点"从顶至底堆化"的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是"节点高度"。因此，我们可以对各层的"节点数量x节点高度"求和，得到所有节点的堆化迭代次数的总和。
化简上式需要借助中学的数列知识，先将T(h)乘以2，然后使用错位相减法，用下式2T(h)减去上式T(h)，可得：
观察上式，发现T(h)是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：
进一步，高度为h的完美二叉树的节点数量为n=2ʰ⁺¹𝄖1，易得复杂度为O(2ʰ)=O(n)。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为O(n)，非常高效🌞。

4. Top-k问题

对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

4.1 方法一：遍历选择

我们可以进行图所示的k轮遍历，分别在每轮中提取第1,2,3...,k大的元素，时间复杂度为O(kn)。此方法只适用于k≤n的情况，因为当k与n比较接近时，其时间复杂度趋向于O(n²)，非常耗时。

提示

当n=k时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于"选择排序"算法。

4.2 方法二：排序

如图所示，我们可以先对数组nums进行排序，再返回最右边的k个元素，时间复杂度为O(nlogn)。显然，该方法"超额"完成任务了，因为我们只需找出最大的k个元素即可，而不需要排序其他元素。

4.3 方法三：堆

我们可以基于堆更加高效地解决Top-k问题，流程如图所示。

1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
2. 先将数组的前k个元素依次入堆。
3. 从第k+1个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的k个元素。
   

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
    // 初始化小顶堆
    Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.offer(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.peek()) {
            heap.poll();
            heap.offer(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}

总共执行了n轮入堆和出堆，堆的最大长度为k，因此时间复杂度为O(nlogk)。该方法的效率很高，当k较小时，时间复杂度趋向O(n)；当k较大时，时间复杂度不会超过O(nlogn)。另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大的k个元素的动态更新。